多项式函数是由常数项、各次幂的变量和系数的乘积所构成的表达式。例如，$f(x)=3x^2+2x-1$就是一个二次多项式函数。有理函数是多项式函数的比值，即分子和分母都是多项式函数。例如，$R(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x+1}$就是一个有理函数。

有理函数是在分母不为零的条件下定义的。这是因为当分母为零时，有理函数就无法得到一个确定的值。在例子$R(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x+1}$中，当$x=-1$时，分母$x+1$为零，因此有理函数在$x=-1$处无定义。

有理函数的图像通常具有特殊的形状。对于$x$的取值很大时，有理函数的值趋于分子的最高次项与分母的最高次项的比值。例如，在例子$R(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x+1}$中，当$x$取很大的正值或很大的负值时，有理函数的值接近于$\frac{3x^2}{x}=3x$。这意味着有理函数的图像在无穷远处会逼近一条直线。

当分子的次数小于分母的次数时，有理函数的图像通常具有斜率为零的水平渐近线。例如，对于有理函数$R(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$，当$x$取很大的正值或很大的负值时，有理函数的值接近于$\frac{x^2}{x}=x$，因此有理函数的图像在无穷远处会逼近一条水平直线$y=x$。

有理函数还可能具有垂直渐近线。垂直渐近线是指有理函数的图像在某些点上逼近无穷大或无穷小。例如，在例子$R(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$中，有理函数的图像在$x=-1$处有一个垂直渐近线。当$x$趋近于$-1$时，分母$x+1$趋近于零，因此有理函数的值趋于无穷大或无穷小。

除了这些特点之外，有理函数还可以进行各种运算，例如加法、减法、乘法和除法。这使得有理函数在数学和实际应用中有着广泛的应用。例如，在物理学中，有理函数可以描述质点的运动规律；在经济学中，有理函数可以表示供求关系；在工程学中，有理函数可以用于电路分析等。

有理函数是由多项式函数的比值所构成的函数。它具有特殊的图像形状和渐近线特点，并且在数学和实际应用中有着广泛的应用。了解和掌握有理函数的性质和运算规则，对于高中数学的学习和实际问题的解决都非常重要。