设三角形ABC的三条高分别为AD、BE和CF，其中D、E和F分别为BC、AC和AB上的垂足。我们要证明这三条高线交于一点，即垂心H的存在性和位置。

步骤一：证明垂心存在于三角形内部

假设三角形ABC是一个锐角三角形（钝角情况类似可以推导），我们需要证明垂心H存在于三角形ABC内部。

假设垂心H在三角形ABC的外部，我们可以假设H在边BC的延长线上（其他边上的情况类似）。设延长线上的点为H'，则AH'垂直于BC。

根据三角形内角和为180°的性质，我们知道∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°。由于∠BAC是直角，所以∠ABC + ∠ACB必然小于180°，即两个锐角之和小于直角。但根据三角形外角和等于内角和的性质，我们知道∠ABC' + ∠ACB = ∠ABC + ∠ACB，且∠ABC'为三角形外角。

因此，∠ABC' + ∠ACB = ∠ABC + ∠ACB < 180°。这与外角和等于内角和的性质相矛盾。所以我们得出结论，垂心H不能在三角形的外部，必然存在于三角形内部。

步骤二：证明垂心H的存在唯一性

我们已经证明了垂心H存在于三角形ABC的内部。现在我们需要证明垂心H的存在是唯一的，即三条高线AD、BE和CF交于一点。

假设存在另外一点H'，使得AH'、BH'和CH'也分别为三角形ABC的高线。我们需要证明H'与H重合。

我们知道AH与BH'垂直于BC，且两条线段交于点A。这意味着AH与BH'共线。

同理，我们可以得到BH与AH'共线，AH与CH'共线，CH与BH'共线，以及CH与AH'共线。

我们得出H'H与AB，BC和CA分别在点H上交。但根据三角形内部的点H存在性，我们知道AB、BC和CA的交点只有一个，即H。因此，我们可以得出结论，H'与H重合，即垂心H的存在是唯一的。

我们证明了三角形ABC的三条高线AD、BE和CF交于一点，即垂心H的存在性和位置。

接下来我们将证明三角形外心的特性及公式。

三角形外心特性及公式证明：

步骤一：定义外心

我们先定义三角形的外心。三角形ABC的外接圆是一个通过三个顶点A、B和C的圆，圆心为O。圆O与三条边AB、BC和CA相切（或相交）于点D、E和F。点O称为三角形ABC的外心。

步骤二：证明外心的存在性

我们需要证明外心O一定存在于三角形ABC内部或外部。

假设外心O在三角形ABC的外部，我们可以假设O在边BC的延长线上（其他边上的情况类似）。设延长线上的点为O'，则AO'是三角形ABC的外心。

根据三角形内角和为180°的性质，我们知道∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°。由于∠BAC是锐角，所以∠ABC + ∠ACB必然大于180°，即两个锐角之和大于直角。但根据三角形外角和等于内角和的性质，我们知道∠ABC' + ∠ACB = ∠ABC + ∠ACB，且∠ABC'为三角形外角。

因此，∠ABC' + ∠ACB = ∠ABC + ∠ACB > 180°。这与外角和等于内角和的性质相矛盾。所以我们得出结论，外心O不能在三角形的外部，必然存在于三角形内部或边上。

步骤三：证明外心O的唯一性

我们已经证明了外心O存在于三角形ABC的内部或边上。现在我们需要证明O的存在是唯一的，即三条垂直平分线AD、BE和CF交于一点O。

假设存在另外一点O'，使得AD'、BE'和CF'也分别为三条垂直平分线。我们需要证明O'与O重合。

我们知道AO与BO'垂直于边BC，且两条线段交于点A。这意味着AO与BO'共线。

同理，我们可以得到BO与AO'共线，AO与CO'共线，CO与BO'共线，以及CO与AO'共线。

我们得出O'O与AB，BC和CA分别在点O上交。但根据外心O存在于三角形内部或边上的唯一性，我们知道AB、BC和CA的交点只有一个，即O。因此，我们可以得出结论，O'与O重合，即外心O的存在是唯一的。

我们证明了三角形ABC的三条垂直平分线AD、BE和CF交于一点O，即外心O的存在性和唯一性。