我们需要了解对数函数的单调性。对数函数的单调性是指函数在定义域内的递增或递减性质。对于对数函数，我们常用以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)来进行讨论。

1. 自然对数函数ln(x)的单调性：

- 当x > 1时，ln(x)是递增函数。这是因为当x增大时，ln(x)的值也会随之增大。

- 当0 < x < 1时，ln(x)是递减函数。这是因为当x在0和1之间时，ln(x)的值会随着x的减小而增大。

- 当x = 1时，ln(1) = 0，即ln(x)的值不变。

2. 常用对数函数log(x)的单调性：

- 当x > 1时，log(x)是递增函数。这是因为当x增大时，log(x)的值也会随之增大。

- 当0 < x < 1时，log(x)是递减函数。这是因为当x在0和1之间时，log(x)的值会随着x的减小而增大。

- 当x = 1时，log(1) = 0，即log(x)的值不变。

在了解了对数函数的单调性后，我们接下来可以使用对数平均不等式来求一个函数的单调性。

对数平均不等式是对数函数的一个重要性质，它可以用来判断一个函数的单调性。对于两个正实数a和b，对数平均不等式的表达式为：

log(a+b)/2 ≥ (log(a) + log(b))/2

其中，等号成立当且仅当a = b时。

现在，我们来看一个具体的例子来应用对数平均不等式求一个函数的单调性。

假设我们要求函数f(x) = log(2x+1)的单调性。

步骤1：确定函数的定义域。对于f(x) = log(2x+1)，我们需要保证2x+1 > 0，即x > -1/2。所以函数的定义域为x > -1/2。

步骤2：选择两个变量a和b，它们属于函数的定义域。

假设我们选择a = x1 和 b = x2，其中x1 < x2。根据对数函数的定义，我们有f(x1) = log(2x1+1) 和 f(x2) = log(2x2+1)。

步骤3：应用对数平均不等式。

根据对数平均不等式，我们有：

log((2x1+1) + (2x2+1))/2 ≥ (log(2x1+1) + log(2x2+1))/2

化简上述表达式，我们得到：

log(2(x1+x2+1))/2 ≥ (log(2x1+1) + log(2x2+1))/2

步骤4：化简不等式。

我们可以将上述式子继续化简为：

log(x1+x2+1) ≥ (log(2x1+1) + log(2x2+1))/2

步骤5：判断单调性。

如果我们能够证明对于任意的x1和x2，上述不等式都成立，那么函数f(x) = log(2x+1)就是递增函数。如果上述不等式反向成立，那么函数f(x)就是递减函数。

通过具体的计算和证明，我们可以得出结论：函数f(x) = log(2x+1)是一个递增函数。

整个步骤如上所述，我们可以使用对数平均不等式来求一个函数的单调性。需要注意的是，这只是一种方法，不同的函数可能需要使用不同的技巧和方法来判断其单调性。因此，在具体应用时，我们需要根据函数的特点来选择合适的方法来判断其单调性。